Vzorečky na statistiku

Numerické charakteristiky jednorozměrného rozdělení

Míry polohy (středu, střední hodnoty, míry centrální tendence - aritm., medián, modus)

• měří polohu statistického souboru na ose x a mají stejný rozměr jako samotná pozorování
  • aritmetický průměr - težistě hodnot

medián - prostřední hodnota uspořádaného souboru
(Me, MD, Q₂, median) střední hodnota souboru, který je seřazen od nejmenší po největší hodnotu. Pokud sudý počet hodnot je medián aritmetický průměr hodnot na místech n/2 a n/2+1

• Stanovují se kvartily (dělí soubor na 4 části), decily a percentily (na 100 částí)
• Obecné označení je kvantily
• Medián je druhý kvartil, padesáty percentil
• modus - nejčastější hodnota (důležitý pro kvalitativní znaky)
  • (Mo, mode) představuje nejčastěji se vyskytující hodnotu proměnné v souboru dat
  • Může mít více hodnot četnější a stejný výsledek - lze pak stanovit dva a více modusů

Nominální znaky → modus
Ordinální → medián
Kardinální → aritmetický průměr

Míry variability (variační rozpětí, mezikvartilové rozpětí, rozptyl, standardní odchylka, variační koeficient)

• proměnlivost hodnot znaku (proměnné) v statistickém souboru

• Charakteristiky (míry)

  • variační rozpětí - rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou v datech (závisí na extrémních hodnotách)
  • mezikvartilové rozpětí - rozdíl 3. a 1. kvartilu
  • Rozptyl - průměrná kvadratická odchylka od průměru
  • směrodatná odchylka - odmocnina z rozptylu

• variační rozpětí (rozpětí, R, range) jednoduchá míra variability. Poloze pro rychlou orientaci

• Vypočítá se jako rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou v souboru

  • R = x(max) - x(min)

• Mezikvartilové rozpětí (interkvartilové rozpětí, Q, RQ, interquartile roange) - úředstavuje rozdíl mezi horním (třetím) a dolním (prvním) kvartilem. Reprezentuje oblast středních 50 procentech hodnot proměnné. Pesnější míra oproti variačnímu rozpětí

RQ = Q₃ - Q₁

• Rozptyl (střední kvadratická odchylka, disperze, s², variace) často využívanou mírou variability
• Rovná se průměrnému čtverci odchylek hodnot od průměru
• Čím je rozptyl větší, tím více se údaje odchylují od průměru
• Vzorec

• Směrodatná odchylka (standardí odchylka, s, SD, standard deviation)
• je odmocněný rozptyl. Tím se odstraňuje vliv umocňování při výpočtu hodnoty rozptylu
• Průměrný rozdíl mezi hodnotami a jejich průměrem při ignorování znamének
• $$\text{S}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$$
• Variační koeficient (VK, CV)
• představuje relativní míru variability
• jestliže chceme posoudit relativní velikost rozptýlenosti dat vzhledem k průměru
• Počítáme ho, když chceme porovnat rozptýlnost dat měření stejné proměnné s různými průměry
• Jako podíl standardní odchylky a průměru
  • VK = SD/AM
  • nebo v procentech VK=SD/AM x 100

Příklad

Součet všech odchylek od průměru musí být nula

• Krabicový graf
  Horizontální čára
  představuje medián, horní
  hrana krabice 75. percentil
  a dolní hrana 25. percentil.

Délka obdélníku
představuje středních 50%
hodnot souboru.
Dolní anténa — minimální
hodnota, horní anténa —
maximální hodnota.

Míry tvaru (koeficient šikmosti, koeficient špičatosti)

• Šikmost (nesouměrnost, skewness) - ukazuje směr a míru asymetrie rozdělení proměnné

• Koeficient šikmosti - míra šikmosti, bezrozměrné číslo, vyhodnocuje se:

• S₁ = 0 symetrické rozdělení

• 0 pozitivní (pravostranná) asymetrie

• < 0 negativní (levostranná) asymetrie

• Kladná (pravostranná šikmost) hodnota znamená, že většina je menší jako průměr, záporná hodnota (levostranná šikmost) znamená, že většina hodnot je větší jako průměr

• Špičatost (strmost, kurtosis) - měří hustotu chvostů rozdělení proměnné, t. j. charakterizuje výskyt extrémně vysokých a extrémně nízkých hodnot

• Koeficient špičatosti - míra strmosti

• bezrozměrné číslo

• S₂ = 0 normální rozdělení (mezokurtické)

• < 0 plochší rozdělení (platykurtické)

• 0 špičatější rozdělení (leptokurtické)